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* 1 複素関数夜行バス 神戸 * 2 複素解析関数 o 2.1 特異点の分類 o 2.2 解析関数の分類 * 3 主な結果 * 4 他の分野への応用 * 5 歴史ダイビング * 6 関連項目 複素関数 複素関数とは自由変数と従属変数がともに複素数の範囲で与えられるようなものである。より正確に言えば複素平面の部分集合上で定義された複素数値の関数が複素関数とよばれる。複素関数に対し自由変数や従属変数を実部と虚部とにわけて考えることができる。 z = x + iy ,\, w = f(z) = u(z) + iv(z).\, ここで x,y,u(z),v(z) \in \mathbb{R}. 従って複素関数の成分 u = u(x,y)\, と北海道旅行 v = v(x,y),\, はふたつの実変数 x, y についての実数値関数だと考えることができる。（学校教育などにおいて）複素解析の基本的な概念は、指数関数、対数関数、三角関数などの実関数を複素関数に拡張することにより与えられることが多い。 複素解析関数 複素解析関数とは、複素平面の開領域(平面全体でも可)で定義され、定義域の凡そ全体で解析的な複素関数をいう。複素関数については解析的(冪級数へ展開可能)であることと微分可能であることは同値であり、これを正則 (regular) であるともいう。解析関数が解析的でない点を特異点 (singularity) という。特異点における関数値は不定であったり無限であったりすることが多いから、特異点は定義域の外にあると考える方が妥当であるが、当然に微分不可能な定義域の外を全て特異点というべきではない。特異点とは凡そ解析関数の定義域の閉包の開核に含まれる非解析的な点であると考えてもよい。然し、究極的には、複素解析の対象となる関数が複素解析関数であり、複素解析の対象となる非解析的な点が特異点である。(何が複素解析の対象になるかについては主観の入る余地がある。) 特異点の分類 複素解析は解析的な領域を沖縄旅行 探求する分野であるが、解析的な領域の中に特異点がある場合、特異点の周囲の解析的な領域の挙動は特異点に支配される。従って、特異点の位置や性質を研究することは複素解析の範疇に含まれる。(特異点が周囲を支配しているというのは比喩であるが、特異点の性質を調べることにより周囲の挙動が明らかになるということは事実である。)スカイホリデー 特異点には孤立した特異点 (isolated -) と孤立していない特異点 (non-isolated -) とがあるが、複素解析の対象となるのは主に孤立した特異点である。孤立した特異点は、除去可能な特異点 (removable -)、有限次数の極 (pole)、真性特異点 (essential -) に分類される。除去可能な特異点とは、その点に適当な値を定義することにより、その近傍で解析的になるものをいう。極とは、f(z) の特異点 z = a であって、(z - a)nf(z) において除去可能な特異点となる自然数 n が存在するものをいう。真性特異点とは、除去可能でも極でもない孤立した特異点をいう。 孤立していない特異点とは、特異点が稠密に連なっているために、その近傍に必ず他の特異点を含んでしまう特異点をいう。例えば f(z)=1/\sin\left(\tfrac{1}{z}\right) は z = 0 に孤立していない特異点を持つ。この他に、定義域の自然な境界（解析接続によって越えられない壁）や多価関数を一価関数として扱うために導入する分岐 (branch cut) も一種の特異点と考えられる。分岐の端点を分岐点 (branch point) というが、分岐が有るかぎり、分岐点は孤立した特異点になりえない。然し、分岐は何処に置いてもよいものであるから都合に合わせて分岐を動かせば、分岐点を恰も孤立した特異点であるかのように扱える。この発想はリーマン面に通ずる。分岐点は代数分岐点 (algebraic -) と対数分岐点 (logarithmic -) に分類されるが、代数特異点、対数特異点と呼ばれることもある。高速バス 関西 解析関数の分類 複素関数が微分可能であるということは、実関数が微分可能であるということに比べて遥かに強い条件である。一階微分可能な複素関数は無限階微分可能であり、積分可能であり、解析的である。これらの事実により、複素関数が微分可能であれば正則であるという。定義域（若しくは考察の対象となっている領域）の全体で正則な関数を正則関数高速バス 名古屋 (holomorphic function) といい、孤立する極を除いて正則な関数を有理型関数 (meromorphic function) という。複素平面全体を定義域とする正則関数を整関数 (entire function) という。(英語と日本語の不一致は同義語の取捨による。) 指数関数、正弦関数、余弦関数、多項式関数など、多くの初等関数は整関数であるが、正接関数などは極を持つから有理型であり、対数関数は負の実軸に分岐を持ち正則でない。ガンマ関数は負の整数に極を持つから有理型であるが、右半平面に限れば正則であ高速バス 東京 る。 主な結果 複素解析においてよくもちいられる道具立てに線積分がある。コーシーの積分定理によって、閉じた経路で囲まれた領域の内側全体で正則になっている関数を、その経路上線積分した値はかならず 0 になるということがわかる。もし正則関数が特定の点を極（特異点）にしているとき、つまりそこで関数の値が「爆発」し有限の値をとらないときには、その点での関数の留数を求めることで線積分の値を決定できる。各複素数における正則関数の値は、その点のまわりの円周上での（考えている正則関数に応じて構成される有理型関数の）線積分の値として求めることができる（コーシーの積分公式）。また、正則関数の線積分に関する留数の理論を用いることで複雑な実積分の値を決定することもできるようになる。 カゾラーティ・ワイエルシュトラスの定理によって真性特異点のまわりでの正則関数の挙動に関する驚くべき性質が導かれる。特異点のまわりでの関数の挙動はテイラー級数に類似のローラン級数によって記述される。 リウヴィルの定理によって複素平面全体で有界な正則関数は定数関数に限られることがわかるが、これをもちいて複素数体が代数的閉体であるという代数学の基本定理の自然で簡単な証明が与えられる。 正則関数の重要な性質に、正則な関数の連結な領域上全体での挙動が任意のより小さい領域上の挙動によって決定されてしまう（一致の原理）、というものがある。大きい領域全体でのもとの関数は小さい領域上に制限して考えたものの解析接続とよばれる。このような原理によってリーマンゼータ関数など、限られた領域上でしか収束しない級数によって定義されていた関数を複素平面全体に正則関数や有理型関数として拡張することが可能になる。場合によっては自然対数などのように複素平面内の単連結でない領域への解析接続が不可能なこともあるが、リーマン面とよばれる曲面を導入することでその上の正則関数としての「解析接続」を考えることができる。夜行バス 格安 上記の結果はすべて一変数に関する複素解析のものであるが、多次元の複素解析に関しても豊かな理論が存在し、ベキ級数展開などの解析的な性質が成立している。一方で共形性などの一変数正則関数が持つ幾何学的な性質は拡張されず、リーマンの写像定理が示すような複素平面の領域に関する共形関係性など一変数の理論における最も重要な結果が高次元においてはもはや成立しない。 他の分野への応用 伝統的に複素解析、特に共形写像の理論は工学に多くの応用があるが、解析的数論全般にわたっても応用されている。近年は複素力学系の勃興や正則関数の繰り返しによって与えられるフラクタル図形（有名な例としてマンデルブロー集合が挙げられる）などによって有名になっている。ほかの重要な応用として共形不変な量子場の理論である弦理論が挙げられる。また、複素解析は電力工学をはじめとして工学全体を通じてさまざまな題材にも応用されている。 歴史夜行バス 大阪 複素解析は古くからある数学の分野であり、その起源は19世紀あるいはより以前にまでたどることができる。レオンハルト・オイラー、カール・フリードリッヒ・ガウス、ベルンハルト・リーマン、オーギュスタン＝ルイ・コーシー、ワイエルシュトラスや多くの二十世紀数学者たちが複素解析の理論に貢献している。微分積分学（びぶんせきぶんがく, calculus）とは、解析学の基本的な部分を形成する数学の一分野である。微分積分学は、局所的な変化を捉える微分と、局所的な量の大域的な集積をあつかう積分の二本の柱からなり、分野としての範囲をはっきりと確定するのは難しいが、大体多変数実数値関数の微分と積分に関わる事柄（逆関数定理やベクトル解析も）を含んでいる。 微分は、ある関数のある点での接線、あるいは接面を考える演算である。数学的に別の言い方をすると、基本的には複雑な関数を線型近似してとらえようとする考え方である。従って、微分は線型写像になる（ただし、多変数関数の微分を線型写像として捉える考え方は 20 世紀に入ってからのものである）。微分方程式はこの考え方の自然な延長にある。 対して積分は、幾何学的には、曲線、あるいは曲面と座標軸とにはさまれた領域の面積（体積）を求めることに相当している。ベルンハルト・リーマンは（一変数の）定積分の値を、長方形近似の極限として直接的に定義し、連続関数は積分を有することなどを証明した。現在では彼の定義による積分をリーマン積分と呼んでいる。 微分と積分はまったく別の概念でありながら密接な関連性を持ち、一変数の場合、互いに他の逆演算としての意味を持っている。（微分積分学の基本定理）関数解析学（かんすうかいせきがく、functional analysis）は数学（特に解析学）の一分野で、フーリエ変換や微分方程式、積分方程式などの研究に端を発している。特定のクラスの関数からなるベクトル空間にある種の位相構造を定めた関数空間や、その公理化によって得られる線形位相空間の構造が研究される。主な興味の対象は、様々な関数空間上で積分や微分によって定義される線型作用素の振る舞いを通じた積分方程式や微分方程式の線型代数学的取り扱いであり、無限次元ベクトル空間上の線型代数学と捉えられることも多い。確率論夜行バス 京都 （かくりつろん、Probability theory）とは、非決定論的過程、すなわち、ある現象の次の状態は、部分的には前の状態から決定されるが、完全に前の状態には依存しておらず、確率的な予言しかできない偶然現象に対して数学的なモデルを与え、解析する数学の一分野である。17世紀にカルダノ、パスカル、フェルマー、ホイヘンス等によって数学の一分野としての端緒が開かれた。 現代数学の確率論は、アンドレイ・コルモゴロフの "確率論の基礎概念"（1933年）に始まる公理主義的確率論である。他の現代数学と同様に、この確率論では「確率」が何を意味しているのかという問題は追求せず、「確率」が満たすべき性質をいくつか規定し、その性質から導くことのできる定理を突き詰めていく学問である。この確率論の基礎には集合論・測度論・ルベーグ積分があり、確率論を学ぶためにはこれらの知識が要求される。 現在、確率論は解析学の一分野として分類されている。特にルベーグ積分論や関数解析学とは密接なつながりがある。もちろん離散数学との関係も依然として深いが、離散的な場合であってもその内容は解析的なものであることが多い(つまり、不等号を駆使する学問である)。また、確率論は統計学を記述する際の言語や道具としても重要である。高速バス 東京 もともとサイコロ賭博といったギャンブルの研究として始まったが、今では保険や投資などの分野で実用されている。 基礎概念 確率論で使われるいくつかの重要な概念を簡単に解説する。詳しい内容は各項目のページにある。 標本空間